Question

设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．

（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

d、a、r之间关系	公共点的个数
d＞a+r
d=a+r
a-r＜d＜a+r
d=a-r
d＜a-r

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有______个；
（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

d、a、r之间关系	公共点的个数
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d＜a

所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有______个；
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=a．

Answer

（1）当r＜a时，⊙A的直径小于正方形的边长，⊙A与正方形中垂直于直线l的一边相离、相切、相交，三种情况，故可确定⊙O与正方形的交点个数；
（2）当r=a时，⊙O的直径等于正方形的边长，此时会出现⊙A与正方形相离，与正方形一边相切，相交，与正方形四边相切，四种情况，故可确定⊙O与正方形的交点个数；
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，连接OC，用a、r表示△COF的各边长，在Rt△OCF中，由勾股定理求a、r的关系．

【解析】
（1）如图①

d、a、r之间关系 公共点的个数
d＞a+r
d=a+r 1
a-r＜d＜a+r 2
d=a-r 1
d＜a-r

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；

（2）如图②

d、a、r之间关系 公共点的个数
d＞a+r

d=a+r 1
a≤d＜a+r 2
d＜a 4

所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；

（3）如图③所示，连接OC．
则OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．
在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF2+FC2=OC2
即（2a-r）2+a2=r2，
4a2-4ar+r2+a2=r2，
5a2=4ar，
5a=4r；

（4）①当a＜r＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；
②当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；
③当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；
④当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；
⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．