Question

设二次函数y=ax²+bx+c的图象通过点（1，0）、（5、0）两点，并且在直线y=2x的下方（二者可以有公共交点），求其顶点的最大值与最小值的积．

Answer

根据抛物线经过（1，0）、（5、0），所以可以设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-5），联立直线y=2x组成方程组，可以得到一个一元二次方程，根据一元二次方程的判别式△=0的时候，表示抛物线与直线相切，得出a的值，再根据根与系数的关系求出．
【解析】
∵抛物线经过（1，0）、（5、0），
所以可以设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-5），
联立直线y=2x组成方程组，可以得到一个一元二次方程：
2x=a（x-1）（x-5），
∴ax2-（6a+2）x+5a=0，
∵一元二次方程的判别式△=0的时候，表示抛物线与直线相切，
∴△=（6a+2）2-20a2=4a2+16a+1=0，
a的两个值既分别表示顶点最大和最小的两种情况：
∴顶点的最大值与最小值的积为：a1×a2==．