Question

如图，点P在双曲线y=（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF-OE=6，则k的值是    ．

Answer

过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，根据⊙P与两坐标轴都相切可知，PA=PB，由∠APB=∠EPF=90°可证△BPE≌△APF，得BE=AF，利用OF-OE=6，求圆的半径，根据k=OA×PA求解．
【解析】
如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，
∵⊙P与两坐标轴都相切，∴PA=PB，四边形OAPB为正方形，
∵∠APB=∠EPF=90°，∴∠BPE=∠APF，
∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE=AF，
∵OF-OE=6，
∴（OA+AF）-（BE-OB）=6，
即2OA=6，解得OA=3，
∴k=OA×PA=3×3=9．
故答案为：9．