Question

如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：△BCH是等腰三角形；
（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图（3），求tan∠DEM．

Answer

（1）CN=DM，CN⊥DM，由于点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，所以AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN，由此证明
△AMD≌△DNC，然后利用全等三角形的性质证明 CN=DM，CN⊥DM；
（2）延长DM、CB交于点P．由AD∥BC得到∠MPC=∠MDA，而∠A=∠MBP，MA=MB，由此证明△AMD≌△BMP，然后利用全等三角形的性质即可证明题目结论；
（3）由AB∥DC，得到∠EDM=∠AMD=∠DME，接着得到EM=ED，设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，那么DE=EA′+2k．而在Rt△DA′E中，A′D2+A′E2=DE2，由此可以得到关于A′E用k表示的结论，然后利用三角函数的定义即可求解．
证明：（1）CN=DM，CN⊥DM，
∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，
∴AM=DN．AD=DC．∠A=∠CDN，
∴△AMD≌△DNC（SAS），
∴CN=DM．∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；（3分）

（2）延长DM、CB交于点P．
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
∵MA=MB，
∴△AMD≌△BMP（AAS），
∴BP=AD=BC．
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
即△BCH是等腰三角形；

（3）∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED．
设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，
∴DE=ME=EA′+2k．
在Rt△DA′E中，A′D2+A′E2=DE2，
∴（4k）2+A′E2=（EA′+2k）2，
解得A′E=3k，
∴在直角△A′DE中，tan∠DEM=A′D：A′E=．（10分）