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如图,已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,以OA为直径作半圆,圆...

如图,已知直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,以OA为直径作半圆,圆心为D.M是OB上一动点(不运动到O点、B点),过M点作半圆的切线交直线x=4于N,交AB于F,切点为P.连接DN交AB于E,连接DM.
(1)证明:∠OMD=∠ADN;
(2)设OM=x,AN=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时,求直线MN的解析式.

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(1)直线y=x+4与x轴、y轴相交于A、B两点可以得出A,B的坐标,A的坐标是(4,0),易证AN为半圆D的切线,根据OM、MN、NA均为半圆D的切线,则∠1=∠2=∠OMN,∠MND=∠AND=∠3,有∠2+∠MND=90°,则∠MDN=90°∠4+∠MD0=90°,而∠1+∠MD0=90°,有∠1=∠4即∠0MD=∠ADN; (2)由△DNO∽△NDA根据相似三角形的对应边的比相等,可以得到; (3)当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时,应分∠3=∠AED和∠3=∠4两种情况讨论.求出M,N的坐标,就可以根据待定系数法求函数解析式. 【解析】 (1)证明:连接ON. ∵直线y=x+4与x轴、y轴相交于A、B两点, ∴OA=OB=4, 又∵直线x=4经过点(4,0)且垂直于x轴, 即直线AN经过A点,且垂直于OA, ∴AN为半圆D的切线, ∴AN∥OB, ∴∠OMN+∠3=180°, 又∵OM、MN、NA均为半圆D的切线, ∴∠1=∠2=∠OMN,∠MND=∠AND=∠3, ∴∠2+∠MND=90°,则∠MDN=90°, ∴∠4+∠MD0=90°,而∠1+∠MD0=90°, ∴∠1=∠4即∠0MD=∠ADN; (2)【解析】 由△DNO∽△NDA可得,=,即=, ∴y与x的函数解析式为y=(0<x<4); (3)【解析】 当以A、F、N为顶点的三角形与△ADE相似时,则有: ①若∠3=∠AED, 在Rt△DNA中∠4+∠3=90°① 在△AEDK,∠4+∠AED=135°② 由②-①可得,∠AED=∠3=90°, ∴MN平行于是x轴,此时y=x=2, ∴直线NM的解析式为y=2; ②若∠3=∠4, 在Rt△DNA中∠4+∠3=90°,即2∠4+∠3=180°, ∴∠3=∠4=60°在Rt△DNA中,y=AN=AD•tan60°=2, 将y值代入解析式得x=, ∴M点坐标为(0,),N点坐标为(4,2), 由M、N两点的坐标求得直线MN的解析式为y=x+, ∴直线MN的解析式为y=2或y=x+.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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