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在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b,P是边CD上异于点C、D的任意一点. ...

在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b,P是边CD上异于点C、D的任意一点.
(1)若a=2b,当点P在什么位置时,△APB与△BCP相似?(不必证明)
(2)若a≠2b,①判断以AB为直径的圆与直线CD的位置关系,并说明理由;②是否存在点P,使以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似?(不必证明)
(1)根据已知及相似三角形的判定方法可求得,P只能是CD的中点. (2)a≠2b,则有a>2b,a<2b,分情况讨论.根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系可以判断以AB为直径的圆与直线CD的位置关系.要使△ABP与△ADP相似,因为在△ADP中,∠D=90°,则△ABP必定是直角三角形,根据直径所对的圆周角是直角,得出答案. 【解析】 (1)因为P在边CD上,则在△BCP中,必有∠C=90°,因为两三角形相似时,形状一定相同,故△APB必定是直角三角形,又P点异于C,D,所以∠ABP≠90°,∠BAP≠90°,只能∠APB=90°,此时P只能是CD的中点.(2分) (2)当a>2b时: ①以AB为直径的圆与直线CD相交(3分) 理由是:∵a>2b ∴b<a ∴AB的中点(圆心)到CD的距离b小于半径a ∴CD与圆相交.(4分) ②当点P为CD与圆的交点时,△ABP∽△PAD,即存在点P(两个),使以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似.(5分) 当a<2b时: 1AB为直径的圆与直线CD相离.(6分) 理由是:∵a<2b ∴b>a ∴AB的中点(圆心)到CD的距离b大于半径a ∴CD与圆相离(7分) ②由①可知,点P始终在圆外,△ABP始终为锐角三角形 ∴不存在点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与以A、D、P为顶点的三角形相似.(9分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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