Question

如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A-B-C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的；
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的，此时点P应在AB上，才是四边形．根据路程=速度×时间，分别用t表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑．
【解析】
（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的．
根据题意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面积是12．
则有（t+6-2t）×2=12×，
解得t=；

（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为．
①当0＜t≤3时，则有（6-2t-t）2+4=5，
解得t=或；
②当3＜t≤4时，则有（8-2t）2+t2=5，
得方程5t2-32t+59=0，
此时△＜0，此方程无解．
综上所述，当t=或时，点P与点Q之间的距离为．