Question

如图①，边长为4cm的正方形ABCD的顶点A与坐标原点0重合，边AB在x轴上，点C在第四象限，当正方形ABCD沿x轴以1cm/秒的速度向右匀速运动，运动时间为t秒时，经过A、B两点的抛物线y=ax²+bx+c与y轴相交于E点，其顶点为M．
（1）若正方形ABCD在运动过程中，抛物线y=ax²+bx+c的顶点M保持在正方形的内部，求a的取值范围．
（2）设正方形ABCD在运动过程中，△ABE与△ABM的面积比为k，求k与运动时间为t（秒）之间的关系式．
（3）当正方形ABCD沿x轴向右运动2秒钟时，在抛物线y=ax²+bx+c上存在一个点P，使△ABP为直角三角形，且△OPA∽△OBP，求此时抛物线的解析式．

Answer

（1）根据已知得出A（t，0），B（t+4，0），即可得出二次函数的对称轴为x=t+2，设y=a（x-t-2）2+k，进而将A（t，0）代入得k=-4a，再根据-4a＜0，-4a＞-4得出a的取值范围；
（2）根据△ABE与△ABM的面积比为k，分别表示出两三角形面积即可；
（3）由△OPA∽△OBP得出比例式，求出OP=2，进而求出AP的长，得到P点坐标，即可求出抛物线的解析式．
【解析】
（1）∵A（t，0），B（t+4，0），
∴抛物线对称轴为x=t+2．
设y=a（x-t-2）2+k，
将A（t，0）代入，得k=-4a，
∴y=a（x-t-2）2-4a，
∴顶点M（t+2，-4a），
由-4a＜0，-4a＞-4，
解得：0＜a＜1．

（2）由（1）知M（t+2，-4a），E（0，at2+4at）
；

（3）∵t=2，
∴y=a（x-4）2-4a，
当y=0时，x1=2，x2=6，
∴OA=2，OB=6，
∵△OPA∽△OBP，
∴==，
∴OP=2（负值舍去），
=，
∵△ABP为直角三角形，AB=4，
∴AP=2，BP=2=OP
作DF⊥AB于F，则OF=OB=3，
∴PF=，P（3，-），
由P在抛物线上得，a-4a=-，a=，
∴．