Question

如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形．BC∥OA，∠COA=60°，OA、AB（OA＞AB）是方程x²-11x+28=0的两个根．
（1）求点B的坐标；
（2）求线段AC的长；
（3）在x轴上是否存在一点P，使以点P、A、C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）首先解方程x2-11x+28=0，得出AB，AO的长，再利用∠COA=60°，得出EO的长，进而求出CE的长以及FO的长，从而得出B点坐标；
（2）利用等腰梯形的性质得出BO=AC，进而求出其长度；
（3）利用等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得符合要求的点P的坐标．
【解析】
（1）∵OA、AB（OA＞AB）是方程x2-11x+28=0的两个根，
∴（x-7）（x-4）=0，
∴x1=4，x2=7，
∴AO=7，AB=4，
∴CO=AB=4，
∵∠COA=60°，
∴∠OCE=30°，
∴OE=CO=2，
∴CE==2，
∴FO=EO+EF=2+3=5，
BF=2，
∴点B的坐标为：（5，2）；

（2）∵四边形OABC是等腰梯形，
∴CA=OB，
∴AC=BO==，

（3）存在．
如图所示即可得出：
①当AP=AC时，P1（7+，0），P2（7-，0），
②当AC=PC时，P3（-3，0），
③当AP=CP时，P4（3.3，0）．
综上可得：P1（7+，0），P2（7-，0），P3（-3，0），P4（3.3，0）．