Question

已知：m，n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点B（m，0），A（0，n）
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，顶点为D，求出C，D的坐标和△ACD的面积；
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，交AC于F点，如直线AC把△PCH分成面积1：3的两部分，请求出P点的坐标．

Answer

（1）通过解方程即可求出m、n的值，那么A、B两点的坐标就可求出．然后根据A、B两点的坐标即可求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出C、D两点的坐标．由于△ACD的面积无法直接求出，可用其他图形的面积的“和，差关系”来求出．过D作DM⊥x轴于M，那么△ACD的面积=梯形DMOA的面积+△DCM的面积-△AOC的面积．由此可求出△ACD的面积．
（3）由于△PCH被直线AC分成的两个小三角形等高，因此面积比就等于底边的比．如果设PH与AC的交点为E，那么EH就是抛物线与直线AC的函数值的差，而EP就是E点的纵坐标．然后可根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后表示出EH，EP的长．进而可分两种情况进行讨论：①当EH=EP时；②当EH=EP时．由此可得出两个不同的关于E点横坐标的方程即可求出E点的坐标．也就求出了P点的坐标．
【解析】
（1）解方程x2-6x+5=0，
得x1=5，x2=1，
由m＜n，有m=1，n=5，
∴点A、B的坐标分别为A（0，5），B（1，0），
将A（0，5），B（1，0）的坐标分别代入y=-x2+bx+c．
得 ，
解这个方程组，得 ，
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x+5；

（2）由y=-x2-4x+5，令y=0，得-x2-4x+5=0，
解这个方程，得x1=-5，x2=1，
∴C点的坐标为（-5，0）．
由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S△DMC=×9×（5-2）=，
S梯形MDAO=×2×（9+5）=14，
S△AOC=×5×5=
∴S△ACD=S梯形MDAO+S△DMC-S△AOC=14+-=15．

（3）设P点的坐标为（a，0）
∵线段AC过A、C两点，
∴AC所在的直线方程为y=x+5．
∴PH与直线AC的交点坐标为E（a，a+5），
PH与抛物线y=-x2-4x+5的交点坐标为H（a，-a2-4a+5）．
由题意，得①EH=EP，
即（-a2-4a+5）-（a+5）=（a+5），
解这个方程，得a=-或a=-5（舍去）
②EH=EP，即（-a2-4a+5）-（a+5）=（a+5），
解这个方程，得a=-或a=-5（舍去）
P点的坐标为（-，0）或（-，0）．