Question

如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为点O，过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连接PO并延长与射线AE相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线BC的垂线，垂足为R．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（ ）
①△AOB≌△COB；
②当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；
③当x=5时，四边形ABPQ是平行四边形；
④当x=0或x=10时，都有△PQR∽△CBO；
⑤当时，△PQR与△CBO一定相似．

A．2条
B．3条
C．4条
D．5条

Answer

根据相似三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定方法分别进行分析即可得出答案．
【解析】
①∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，
∴AO=CO，AB=BC，BO=BO，
∴△AOB≌△COB；
故此选项正确；
②∵AE∥BC，
∴∠AQO=∠OCP，
∵AO=CO，∠AOQ=∠POC，
∴当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；
故此选项正确；
③当x=5时，
∴BP=PC=5，
∵AQ=PC，
∴AQ=PB=5，
∵AQ∥BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形；
故此选项正确；
④当x=0时，P与B重合，
∴∠OBC=∠QPR，
又∵∠BOC=∠PRQ=90°，
∴△BCO∽△PQR；
当x=10时，P与C重合，此时Q与A重合，
∵∠QPR=∠BPO，∠QRP=∠BOC=90°，
∴△QRP∽△BOC，
当x=0时，△BCO∽△PQR与△PQR∽△CBO不相符；故此选项错误；

⑤若△PQR与△CBO一定相似，
则∠QPR=∠BCO，
故OP=OC=6，
过点O作OH⊥BC于H，
由射影定理得CO2=CH•CB，
可求得CH=CP=3.6，
故CP=7.2，所以BP=x=2.8
故当时，△PQR与△CBO一定相似．
故此选项正确．
故正确的有4条．
故选：C．