Question

如图，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与反比例函数的图象相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B（t，q）在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）用含t的代数式表示直线AB的解析式；
（3）求抛物线的解析式；
（4）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，把△AOB绕点O顺时针旋转90°，请在图②中画出旋转后的三角形，并直接写出所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．

Answer

（1）将点A（1，4）代入双曲线，求得k即可；
（2）设点B（t，），t＜0，AB所在直线的函数表达式为y=mx+n，将点A、B代入，列出方程组，从而得出直线AB的解析式；
（3）可表示出直线AB与y轴的交点坐标，根据△AOB的面积为3，得2t2+3t-2=0，则求出点B的坐标，将点A，B代入抛物线y=ax2+bx，求出a、b即可；
（4）画出图形，可得出点E的坐标有两个．
【解析】
（1）因为点A（1，4）在双曲线上，
所以k=4．故双曲线的函数表达式为．（1分）

（2）设点B（t，），t＜0，AB所在直线的函数表达式为y=mx+n，
则有，
解得，．
直线AB的解析式为y=-x+；（3分）

（3）直线AB与y轴的交点坐标为，
故，
整理得2t2+3t-2=0，
解得t=-2，或t=（舍去）．
所以点B的坐标为（-2，-2）．
因为点A，B都在抛物线y=ax2+bx（a＞0）上，
所以，
解得，
所以抛物线的解析式为y=x2+3x；（4分）

（4）画出图形（2分）
点E的坐标是（8，-2）或（2，-8）．（2分）