Question

如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．

Answer

（1）①E、A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边长，由此可得到其面积；
②E、A不重合时；易证得△AEM≌△FDM，则EM=FM，由勾股定理易求得EM的长，即可得出EF的长；下面求MG的长，过M作MN⊥BC于N，则AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMG同为∠EMN的余角，由此可证得△AEM∽△NCM，根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MC的比例关系式，即可求得MG的表达式，进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式；
（2）可分别作出E、A重合和E、B重合时P点的位置（即P为A与E重合时得到的对应点，P′为E与B重合时的对应点），此时可发现PP′正好是△EGG′的中位线，则P点运动的距离为GG′的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易证得∠MBG=∠GMG′，根据∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的边长）的比例关系，由此得解．
【解析】
（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2
当点E与点A不重合时，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
在△AME和△DMF中
，
∴△AME≌△DMF（ASA）
∴ME=MF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=
∴EF=2ME=2
过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴=，即=
∴MG=2ME=2
∴y=EF×MG=×2×2=2x2+2
∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（6分）

（2）如图，PP′即为P点运动的距离；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠MBG==2，
∴tan∠GMG′=tan∠MBG==2；
∴GG′=2MG=4；
△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，
∴PP′是△MGG′的中位线；
∴PP′=GG′=2；
即：点P运动路线的长为2．（8分）