Question

已知二次函数y=x²-2（m-1）x+2m²-2
（1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在某一函数图象上，并求出此图象的函数解析式；
（2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为，求出此二次函数的解析式．

Answer

（1）先根据二次函数的解析式求出其顶点坐标，而其顶点坐标为新函数上任意一点，即横坐标为x=m-1，纵坐标为y=m2+2m-3，整理即可得到所求函数的解析式；
（2）根据根与系数的关系求出两根之积与两根之和的表达式，再将|x2-x1|=2两边平方，转化为关于m的方程，解答即可．
【解析】
（1）二次函数的顶点坐标为（m-1，m2+2m-3），
顶点坐标在某一函数的图象上，
即横坐标为x=m-1，
纵坐标为y=m2+2m-3=（m-1）（m+3）=（m-1）（m-1+4）=x（x+4）=y=x2+4x，
故不论m为何值，二次函数的顶点都在抛物线y=x2+4x上；（4分）

（2）设二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），
由已知|x2-x1|=2，
再利用根与系数的关系得，，
又∵（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2，
∴12=4（m-1）2-4（2m2-2），
m=0或-2，（10分）
当m=0时，y=x2+2x-2；
当m=-2时，y=x2+6x+6．（14分）