Question

如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂切于点P，外公切线AB与连心线O₁O₂相交于点C，A、B是切点，D是AP延长线上的点，满足．
求：（1）cosD；（2）的值．

Answer

（1）过P作两圆的内公切线交AB于Q，连接PB．得到QA=QP=QB，根据∠APB=90°=，得到△CAD∽△PAB，推出∠ACD=∠APB=90°设AC=4t，AD=5t，则CD=3t，即可求出答案；
（2）在Rt△APB中，设AP=8a，AB=10a，则PB=6a．作O1E⊥AP于E，O1F⊥BP于F，得到，FP=3a，根据∠FO2P=∠APB=∠D，推出Rt△PFQ2∽Rt△ACD，得到，根据O1E∥PF，得到△EO1P∽△FPO2，求，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解析】
（1）过P作两圆的内公切线交AB于Q，连接PB．
∵AB是两圆的外公切线，
∴QA=QP=QB，
∴∠APB=90°
∵，
∴△CAD∽△PAB，
∴∠ACD=∠APB=90°，
在Rt△ACD中，令AC=4t，AD=5t，则CD=3t，
∴，
答：cosD=．

（2）【解析】
在Rt△APB中，设AP=8a，AB=10a，则PB=6a．
作O1E⊥AP于E，O2F⊥BP于F，
则，FP=3a，
在Rt△PO2F中，∠FO2P=∠D，∠PFO2=∠ACD=90°，
∴△PFO2∽△ACD，
∴，
∵PF=3a，
∴FO2=a，
又O1E∥PF，∠EO1P=∠FPO2，
∴△EO1P∽△FPO2，
∴，
∴，
答：的值是．