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如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3...

如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形;
(3)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)由定点列式计算,从而得到b,c的值而得解析式; (2)由解析式求解得到点A,得到AC,CD,AD的长度,而求证; (3)由(2)得到的结论,进行代入,要使以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形,必须满足的条件是AB平行且等于EF,那么只需将E点的坐标向左或向右平移AB长个单位即可得出F点的坐标,然后将得出的F点坐标代入抛物线的解析式中,即可判断出是否存在符合条件的F点. 【解析】 (1)由题意得, 解得:b=2,c=-3, 则解析式为:y=x2+2x-3; (2)由题意结合图形 则解析式为:y=x2+2x-3, 解得x=1或x=-3, 由题意点A(-3,0), ∴AC=,CD=,AD=, 由AC2+CD2=AD2, 所以△ACD为直角三角形; (3)∵A(-3,0),B(1,0), ∴AB=4, ∵点E在抛物线的对称轴上, ∴点E的横坐标为-1, 当AB为平行四边形的一边时,EF=AB=4, ∴F的横坐标为3或-5, 把x=3或-5分别代入y=x2+2x-3,得到F的坐标为(3,12)或(-5,12); 当AB为平行四边形的对角线时,由平行四边形的对角线互相平分, ∴F点必在对称轴上,即F点与D点重合, ∴F(-1,-4). ∴所有满足条件的点F的坐标为(3,12),(-5,12),(-1,-4).
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考点分析:
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种类
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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