Question

已知两等圆⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点B作任意直线分别与⊙O₁交于点C，与⊙O₂交于点D．
（1）试判别△ACD的形状，并证明你的结论成立；
（2）两圆再满足什么条件时，△ACD为等边三角形？（要求：画出图形，并证明）

Answer

（1）根据等圆的定义和圆心角、弧、弦之间的关系得到∠C=∠D，根据等腰三角形性质推出即可；
（2）根据等圆定义得到等边三角形，推出∠AO1O2=60°，得到∠C=60°，根据等边三角形的判定即可推出答案．
证明：△ACD为等腰三角形．
（1）∵⊙O1，⊙O2为等圆，AB=AB，
∴=
∴∠C=∠D，
∴AC=AD，
∴△ACD是等腰三角形．

（2）【解析】
当⊙O1过O2点时（或⊙O2过O1点），△ACD为等边三角形．
证明：∵连接O1A、O1O2、O2A、O2B，
∵⊙O1、⊙O2是等圆，
∴O1A=O1O2=O2A，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°，
又∵AB=2AO2，
∵∠C=∠AO1O2=60°，
又∵AC=AD，
∴△ACD为等边三角形．