Question

如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．
（参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=．）

Answer

（1）连接OB、OC，作OE⊥BC于点E，由垂径定理可得出BE=EC=，在Rt△OBE中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出∠BOE的度数，再由圆周角定理即可求解；
（2）因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答．
【解析】
（1）解法一：
连接OB，OC，过O作OE⊥BC于点E．
∵OE⊥BC，BC=，
∴．（1分）
在Rt△OBE中，OB=2，∵，
∴∠BOE=60°，∴∠BOC=120°，
∴．（4分）
解法二：
连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．
∵BD是直径，∴BD=4，∠DCB=90°．
在Rt△DBC中，，
∴∠BDC=60°，∴∠BAC=∠BDC=60°．（4分）

（2）【解析】
因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处．（5分）
过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点．连接AB，AC，则AB=AC，．
在Rt△ABE中，∵，
∴，
∴S△ABC=．
答：△ABC面积的最大值是．（7分）