Question

如图，在△ABC中，点D、G分别在BC、AB边上，AD与CG相交H，如果DA=DB，GB=GC，AD平分∠BAC，那么下列三角形中不与△ABC相似的是（ ）

A．△ABD
B．△ACD
C．△AGH
D．△CDH

Answer

由DA=DB，GB=GC，利用等边对等角得到两对角相等，再根据AD为角平分线，得到一对角相等，等量代换可得∠BAD=∠B=∠GCB=∠CAD，由∠CAD=∠B，加上一对公共角相等可得△ACD∽△BCA；由∠AHG为三角形ACH的外角，利用外角性质得到∠AHG=∠ACH+∠DAC，由∠ACD=∠ACH+∠GCB，可得出∠AHG=∠ACD，再由∠BAD=∠B，可得△AHG∽△ACB；由对顶角相等可得∠CHD=∠AHG，再由∠AHG=∠ACD等量代换可得∠CHD与∠ACD相等，再加上∠B=∠GCB，可得出△CDH∽△BAC；而三角形ABD与三角形ABC不满足相似的条件，进而确定出正确的选项．
【解析】
∵DA=DB，GB=GC，
∴∠BAD=∠B，∠B=∠GCB，
又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠B=∠GCB=∠CAD，
∴∠CAD=∠B，又∠ACD=∠CBA（公共角），
∴△ACD∽△BCA；
∵∠AHG为△DHC的外角，
∴∠AHG=∠ACH+∠DAC，
又∠ACD=∠ACH+∠GCB，且∠DAC=∠GCB，
∴∠AHG=∠ACD，又∠BAD=∠B，
∴△AHG∽△ACB；
∵∠CHD=∠AHG（对顶角相等），且∠AHG=∠ACD，
∴∠CHD=∠ACD，又∠B=∠GCB，
∴△CDH∽△BAC；
而∠B=∠B，∠BAD不等于∠ACB，则△ABD不相似△ABC，
则题中△ACD∽△BCA；△AHG∽△ACB；△CDH∽△BAC．
故选A．