Question

已知关于x的一元二次方程x²+（a+1）x+a²-3=0的两个实数根的平方和为4，求a的值．

Answer

首先设原方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得：x1+x2=-（a+1），x1•x2=a2-3，然后由两个实数根的平方和为4，求得a的值，又由判别式△≥0，判定a的取值为-1．
【解析】
设原方程的两根为x1，x2，
则x1+x2=-（a+1），x1•x2=a2-3，（2分）
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=4，（1分）
∴[-（a+1）]2-2（a2-3）=4，（2分）
∴a2-2a-3=0，（1分）
即（a-3）（a+1）=0，
解得：a1=3，a2=-1，（1分）
∵当a=3时，原方程的△=[-（a+1）]2-4（a2-3）=-3a2+2a+13=-8＜0，不符合题意舍去，（2分）
当a=-1时，原方程的△=-3a2+2a+13=8＞0，
∴a=-1．