Question

如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，DE与BC的延长线交于点E，AE交CD于F，BF交AC于G．
（1）求证：G是△ABE重心；
（2）已知cos∠DAF=，求证：∠BCG=∠BGC．

Answer

（1）欲证G是△ABE重心，可以通过证明四边形ACED是平行四边形，根据平行四边形和矩形的性质得到AF=EF，BC=CE得证；
（2）根据直角三角形的性质，三角形的重心的性质可证BG=BC，再根据等腰三角形的性质得证．
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE．
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴AF=EF，AD=CE．
∵BC=AD，
∴BC=CE．
∴G是△ABE的重心．

（2）∵∠ABE=90°，AF=EF，
∴BF=AB=AF，
∵G是△ABE的重心，
∴BG=BF=AF，
∵∠ADC=90°，cos∠DAF=，
∴=，（1分）
∴BC=AD=AF，
∴BG=BC．（1分）
∴∠BCG=∠BGC．（1分）