Question

如图，梯形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，AB⊥OA，二次函数
y=mx²-mx+2的图象经过A、B、C三点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）当AC⊥OB时，求二次函数的解析式．

Answer

（1）根据点A在y轴上，代入函数解析式可得出点A的坐标，再根据x轴的正半轴上，AB⊥OA，可得出点B的纵坐标，代入函数解析式后讨论m的值可得出点B的坐标．
（2）在Rt△AOB中和Rt△AOC中，利用解三角形的知识分别求出OC的长度，从而得出点C的坐标，代入可得出二次函数的解析式．
【解析】
（1）∵二次函数y=mx2-mx+2的图象与y轴相交于A，
∴点A的坐标为 （0，2），
∵AB⊥OA，∴点B的纵坐标为2，
∵点B在二次函数y=mx2-mx+2的图象上，
∴2=mx2-mx+2，
∴mx（x-1）=0，
∵m≠0，
∴x1=0，x2=1，
其中x1=0，
∴点B的坐标为 （1，2 ）．

（2）∵AC⊥OB，
∴∠ACO=90°-∠BOC=∠AOB，
在 Rt△AOB中，OA=2，AB=1，
∴cot∠AOB==2，
在Rt△AOC中，OC=OA•cot∠ACO=OA•cot∠AOB=2×2=4，
∴点C（4，0），
∵C在二次函数y=mx2-mx+2的图象上，
∴0=16m-4m+2，
∴m=-，
∴二次函数解析式为y=-x2+x+2．