Question

如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，点O₁、O₂在BC上，⊙O₁与⊙O₂外切于P，⊙O₁与AB相切于点D，与AC相离，⊙O₂与AC相切于E，与AB相离．
（1）求证：DP∥AC；
（2）设⊙O₁的半径为x，⊙O₂的半径为y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；
（3）△ADP能否为直角三角形？如果能够，请求出⊙O₂的半径；如果不能，请说明理由．

Answer

（1）连接O1D，有切线的性质和已知条件证明∠DPO1=30°，再证明∠C=∠B=30°，进而证明∠DPO1=∠C，有同位角相等两线平行即可证明DP∥AC；
（2）连接O2E，作AH⊥BC，垂足为H，根据切线长定理和解直角三角形的知识即可求出求y与x的函数解析式，进而求出自变量的取值范围；
（3）△ADP能为直角三角形，此小题需要分当∠DPA=90°时；当∠DPC=90°时；当∠ADP=90°时，三种情况分别讨论，根据已知条件求出满足题意的半径值即可．
（1）证明：连接O1D，
∵⊙O1与AB相切于点D，
∴∠BDO1=90°，
∵∠B=30°，
∴∠BO1D=60°，
∵O1D=O1P，
∴∠DPO1=∠PDO1，
∵∠DO1P=∠DPO1+∠PDO1=2∠DPO1，
∴∠DPO1=30°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°．
∴∠DPO1=∠C，
∴DP∥AC；

（2）【解析】
连接O2E，作AH⊥BC，垂足为H．
∵⊙O2与AC相切于E，∴∠CEO2=90°．
∵∠C=30°，PO2=EO2=y，∴CO2=2EO2=2y，
同理：PO1=x，BO1=2x．
在Rt△ABH中，BH=AB•cosB=6•coc60°=3，
∴BC=2BH=6，
∴2x+x+y+2y=6
∴函数解析式为y=2-x，定义域为：；

（3）【解析】
△ADP能为直角三角形．
当∠DPA=90°时，∵DP∥AC，∴∠PAC=90°，
在Rt△APC中，CP==4，
∴y+2y=4，
∴y=，
即⊙O2的半径为，
当∠DPC=90°时，在Rt△ABP中，同理可求得x=
∴y=2-=，
即⊙O2的半径为，
由于∠ADO1=90°，所以∠ADP不可能为90°．
综上所述⊙O2的半径为或．