Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．
（1）求证：AC=AD；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer

（1）根据角平分线的性质得出∠FAD=∠B，以及AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，证明AC=AD；
（2）根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=∠DAC=∠FAC，
∵∠B+∠BCA=∠FAC，
∴∠B=∠FAC，
∴∠B=∠FAD，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD；

（2）∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，
∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．