Question

如图所示的直角坐标系中，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=8，D为斜边BC的中点．点P由点A出发沿线段AB作匀速运动，P′是P关于AD的对称点；点Q由点D出发沿射线DC方向作匀速运动，且满足四边形QDPP′是平行四边形．设平行四边形QDPP′的面积为y，DQ=x．
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）求当y取最大值时，过点P，A，P′的二次函数解析式；
（3）能否在（2）中所求的二次函数图象上找一点E使△EPP′的面积为20？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据题意易得，四边形PDQP′为平行四边形，设DQ=x；故有AF=PF=FP′=x，故DF=AD-AF=8-x；进而可得y关于x的函数解析式；
（2）由（1）可得，其解析式为二次函数，分析可得当x=8时，y取最大值，此时Q点运动到C点，P点运动到AB的中点，进而可得过点P，A，P′的二次函数解析式；（3）首先假设存在，并设其坐标为（x，y），表示出△PP′E的面积，可得x与y的值，判断出存在．
【解析】
（1）∵△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8
∴BC=16
∵D为斜边BC的中点
∴AD=BD=DC=8
∵四边形PDQP′为平行四边形，DQ=x
∴AF=PF=FP′=x
故DF=AD-AF=8-x
则平行四边形PDQP′的面积y=DQDF=x（8-x）=-x2+8x． 5分

（2）当x=8时，y取最大值，此时Q点运动到C点，P点运动到AB的中点，
则点A、P、P′的坐标分别为（0，8）、（-4，4）、（4，4）．
设过上述三点的二次函数解析式为y=ax2+8，
代入P点坐标有y=-x2+8    9分

（3）假设在y=-x2+8的图象上存在一点E，使S△PP′E=20
设E的坐标为（x，y），则S△PP′E=|PP′||y-4|=20．
即|y-4|=5，可得y=9，-1，
代入解析式可得E点坐标为（-6，-1），（6，-1）．13分