Question

如图，已知边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，连接AE、DE，BD、AE交BD于F，连接CF交DE于G，P为DE的中点，连接AP、FP，下列结论：①DE⊥CF；②；③∠EAP=30°；④△FGP为等腰直角三角形．
其中正确结论的个数有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据已知得出首先证明△ABF≌△CBF，得出∠FCB=∠EDC，进而求出∠EGC=90°，再利用△CFM∽△PEQ，得出FM=，进而求出S△BCD-S△BFE的面积即可得出答案，再利用等腰直角三角形的知识分析得出答案．
【解析】
作FM⊥BC，
∵∠ABF=∠FBC=45°，
AB=BC，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF，
∵边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，
∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE，
∴△ABE≌△DCE，
∴∠BAE=∠EDC，
∴∠FCB=∠EDC，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠DEC+∠BCF=90°
∴∠EGC=90°，
∴DE⊥CF，故①DE⊥CF正确；
∵△CFM∽△PEQ，
∴，
∵MC=4-BM，BM=FM，PQ=2，EQ=1，
∴FM=，
∴S△BCD-S△BFE=8-×2×=；故②正确；
∵，
∴CF×DE=×2×CF=，
∴CF=，
∵∠EGC=∠ECD=90°，∠GEC=∠GEC，
∴△CEG∽△DEC，
∴，
∵边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，
∴EC=2，DE=2，
∴==，
∴EG=，CG=，
∴FG=，PG=-=，
∴FG≠PG，
∴根据已知可得∠FPG≠∠PFG，
∴④△FGP为等腰直角三角形错误．
∵P为DE的中点，
∴PE=DP=，
∴BE=EC=2，AB=CD，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴△AED为等腰三角形不是等边三角形，
∵P为DE的中点，
∴AP不垂直于DE，
∵=，
∴∠EAP≠30°，故③不正确；
其中正确结论的个数有2个，
故选：B．