Question

我市的公租房建设卓有成效，目前已有部分公租房投入使用，计划从今年起，在未来的10年内解决低收入人群的住房问题，预计第x年竣工并投入使用的公租房面积y（百万平方米）满足这样的关系式：1≤x≤6时，；7≤x≤10时，．同时，政府每年将向租户收取一定的租金，假设每年的公租房全部出租完，另外随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也会随之上调，预测：第x年竣工并投入使用的公租房租金z（元/m²）与时间x（年）满足以下表：

z（元/m^2）	50	52	54	56	…
x（年）	1	2	3	4	…

（1）试估计z与x之间的函数类型，并求出该函数表达式；
（2）求政府在哪一年竣工并投入使用的公租房收取的租金最多，最多是多少？
（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年竣工投入使用的公租房在原预计总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年提高a%，这样解决住房的人数将比第6年解决的人数减少1.35a%，求a的值（结果保留整数）．（参考数据：17²=289，18²=324，19²=361）

Answer

（1）由自变量x逐渐增大，而相对应的函数值z逐渐增大，且数据均匀增加，可以推测z是x的一次函数；
（2）利用公租房收取的租金=公租房租金z（元/m2）×投入使用的公租房面积y（百万平方米）列出二次函数，利用配方法求得最大值即可；
（3）利用第6年人均住房面积×（1+a%）×第6年解决的人数×（1-1.35a%）=第10年人均住房面积，列方程解决问题．
【解析】
（1）估计z是x的一次函数．
设z=kx+b，把（1，50）（2，52）代入函数解析式解得k=2，b=48，
所以z=48+2x；

（2）设第x年竣工并投入使用的公租房收取的租金为w百万元w=y•z，
当1≤x≤6时：==-（x-3）2+243，
x=3时，Wmax=243（百万元）；
当7≤x≤10时，==-（x-7）2+，
；
∵243＞，
∴第3年时，收取的租金最多，最多是243百万元；

（3）∵第6年人均住房面积是（-×6+5）×100÷20=20，
∴20×（1+a%）×20×（1-1.35a%）=（-×10+）×100，
设a%=x，
解得：x1≈0.2，x2=＜0（舍去），
∴a=20．