Question

已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿C→D→A方向，以每秒1个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t秒，过点N作NQ⊥CD交AC于点Q．
（1）设△AMQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（2）在梯形ABCD的对称轴上是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，求点P到AB的距离；若不存在，说明理由．
（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使△AMQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）求出t的临界点t=2，分别求出当0＜t≤2时和2≤t＜4时，S与t的函数关系式即可，
（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，分3种情况进行讨论，①取AD的中点G，②以D为直角顶点，③以A为直角顶点，
（3）当0＜t≤2时，若△AMQ为等腰三角形，则MA=MQ或者AQ=AM，分别求出t的值，然后判断t是否符合题意．
【解析】
（1）当0＜t≤2时，
如图：过点Q作QF⊥AB于F，过点C作CE⊥AB于E，
∵AB∥CD，
∴QF⊥CD，
∵NQ⊥CD，
∴N，Q，F共线，
∴△CQN∽△AFQ，
∴=，
∵CN=t，AF=AE-CN=3-t，
∵NF=，
∴QF=-t，
∴S=•t•（-t），
∴S=-t2+t，
当2≤t＜4时，
如图：△FQC∽△PQA，
∵DN=t-2，
∴FD=DN•cos∠FDN=DN•cos60°=（t-2），
∴FC=CD+FD=2+（t-2）=t+1，
∴FQ=FC•tan∠FCQ=FC•tan30°=（t+1）•=（t+2），
∴PQ=PF-FQ=-（t+2），
可得QP=-（t+2），
S=•t•[-（t+2）]，
∴S=-t2+t；

（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，
情况一：取AD的中点G，GD=1，
过G作GH⊥对称轴于H，GH=1.5，
∵1.5＞1，
∴以P为直角顶点的Rt△PAD不存在，
情况二：以D为直角顶点：KP1=，
∴P1L=，
况三：以A为直角顶点，LP2=，
综上：P到AB的距离为时，△PAD为Rt△，

（3）0＜t≤2时，若MA=MQ，
则：t=-t，
∴t=，
若AQ=AM，则t=2-t，
解得t=12-6，
若QA=QM，则∠QMA=30°
而0＜t≤2时，∠QMA＞90°，
∴QA=QM不存在；
2≤t＜4（图中）
若QA=QM，AP：AD=：2，
∴t=2，
若AQ=AM，2-（t+2）=t，
∴t=2-2，
∵2-2＜2，
∴此情况不存在若MA=MQ，则∠AQM=30°，而∠AQM＞60°不存在．
综上：t=，12-6，2时，△AMQ是等腰三角形．