Question

已知抛物线y=ax²+（a+2）x+2a+1与直线y=2-3x至少有一个交点是整点（直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点），试确定整数a的值，并求出相应的交点（整点）的坐标．

Answer

根据抛物线y=ax2+（a+2）x+2a+1与直线y=2-3x至少有一个交点是整点，将两式联立，得出关于x的一元二次方程，再利用根与系数关系得出，进而得出答案．
【解析】
联立，
得ax2+（a+5）x+2a-1=0（1）
设（1）的两根为x1，x2，
当两根都为整数，则x1•x2==2-为整数，
∴a=±1，
当a=1时，（1）为x2+6x+1=0无整数解，
当a=-1时，（1）为x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
对应地y1=-1，y2=-7，
∴a=-1，交点坐标为（1，-1）和（3，-7）．
当其中一个根是整数，则a=2，交点（-3，11），a=3，交点 （-1，5）．