Question

已知反比例函数y=的图象经过点A（-，1）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n²-2n+9的值．

Answer

（1）由于反比例函数y=的图象经过点A（-，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；
（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；
（3）把点P（m，m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2-2n+9的值．
【解析】
（1）由题意得1=，解得k=-，
∴反比例函数的解析式为y=-；

（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．
在Rt△AOC中，OC=，AC=1，
∴OA==2，∠AOC=30°，
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOC=60°．
过点B作x轴的垂线交x轴于点D．
在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=，OD=OB=1，
∴B点坐标为（-1，），
将x=-1代入y=-中，得y=，
∴点B（-1，）在反比例函数y=-的图象上．

（3）由y=-得xy=-，
∵点P（m，m+6）在反比例函数y=-的图象上，其中m＜0，
∴m（m+6）=-，
∴m2+2m+1=0，
∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．
∵△OQM的面积是，
∴OM•QM=，
∵m＜0，∴mn=-1，
∴m2n2+2mn2+n2=0，
∴n2-2n=-1，
∴n2-2n+9=8．