Question

已知一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A、与y轴交于点B，BC∥x轴，且∠ACB的正切值为3．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若某二次函数图象经过A、B、C三点，试求该图象的顶点坐标．

Answer

（1）对于一次函数y=-x+3中可分别设y=0，x=0，即可求出图象与x轴点A、与y轴交点B；再利用已知条件和解直角三角形的知识可求出C点的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c把A，B，C三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，即可求出二次函数解析式，再把函数解析式配方即可求出该图象的顶点坐标．
【解析】
（1）设x=0，则y=0+3，解得y=3，
则B点的坐标为（0，3）
设y=0，则0=-x+3，
解得：x=3，则A点的坐标为（3，0），
过点C作CD⊥OD，垂足为D，
则AO=3，BO=CD=3，
又∵BC∥x轴，
∴∠ACB=∠CAD，
∵tan∠ACB=3，
∴tan∠CAD=3，
在△ACD中，
∵∠ADC=90°，tan∠CAD=3，CD=3，
∴AD=1，
∴OD=4，
∵C点的纵坐标和B点的纵坐标相同，
∴C（4，3）；

（2）设二次函数解析式为 y=ax2+bx+c，
∵函数图象经过A、B、C三点，
∴，
解得：；  
∴二次函数解析式为y=x2-4x+3，
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）．