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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=cm,OC...

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=manfen5.com 满分网cm,OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒manfen5.com 满分网cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒.
(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;
(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线y=manfen5.com 满分网x2+bx+c经过B、P两点,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.

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(1)根据P、Q的运动速度,可用t表示出CQ、OP的长,进而根据OC的长求出OQ的表达式,即可由三角形的面积公式得到S、t的函数关系式; (2)四边形OPBQ的面积,可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面积差求得,进而可得到所求的定值; (3)若△OPQ与△PAB和△QPB相似,那么△QPB必为直角三角形,且∠QPB=90°;由于∠BQP≠∠OPQ,所以这三个相似三角形的对应关系是△OPQ∽△PBQ∽△ABP,根据相似三角形得到的比例线段求出t的值,进而可确定点P的坐标,求出抛物线和直线BP的解析式;可设M点的横坐标为m,根据直线BP和抛物线的解析式,求出M、N的纵坐标,进而可得到关于MN的长与m的函数关系式,根据函数的性质即可求出MN的最大值及对应的M点坐标;设BQ与直线MN的交点为H,根据M点的坐标和直线BQ的解析式即可求出H点的坐标,也就能得到MH的长,以MH为底,B、M横坐标差的绝对值为高,可求出△BHM的面积,进而可根据四边形OPBQ的面积求出五边形OPMHQ的面积,由此可求出它们的比例关系式. (1)【解析】 ∵CQ=t,OP=t,CO=8, ∴OQ=8-t. ∴S△OPQ=(0<t<8);(3分) (2)证明:∵S四边形OPBQ=S矩形ABCO-S△CBQ-S△PAB ==32;(5分) ∴四边形OPBQ的面积为一个定值,且等于32;(6分) (3)【解析】 当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,△QPB必须是一个直角三角形,依题意只能是∠QPB=90°, 又∵BQ与AO不平行, ∴∠QPO不可能等于∠PQB,∠APB不可能等于∠PBQ, ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP(7分), ∴=, ∴, 解得:t1=4,t2=8 经检验:t=4是方程的解且符合题意,t=8不是方程的解,舍去;(从边长关系和速度考虑), ∴QO=4, ∴直线QB的解析式为:y=x+4, 此时P(,0); ∵B(,8)且抛物线经过B、P两点, ∴抛物线是,直线BP是:(8分). 设M(m,)、N(m,). ∵M在BP上运动, ∴ ∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P; ∴当时,y1<y2(9分) ∴MN=|y1-y2| =|m2-2m+8-(m-8)| =m-8-(m2-2m+8) =m-8-m2+2m-8 =-m2+3m-16 =, ∴当时,MN有最大值是2; ∴设MN与BQ交于H点则,; ∴S△BHM== ∴S△BHM:S五边形QOPMH==3:29 ∴当MN取最大值时两部分面积之比是3:29.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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