Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y=x²+bx+c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

Answer

（1）根据P、Q的运动速度，可用t表示出CQ、OP的长，进而根据OC的长求出OQ的表达式，即可由三角形的面积公式得到S、t的函数关系式；
（2）四边形OPBQ的面积，可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面积差求得，进而可得到所求的定值；
（3）若△OPQ与△PAB和△QPB相似，那么△QPB必为直角三角形，且∠QPB=90°；由于∠BQP≠∠OPQ，所以这三个相似三角形的对应关系是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，根据相似三角形得到的比例线段求出t的值，进而可确定点P的坐标，求出抛物线和直线BP的解析式；可设M点的横坐标为m，根据直线BP和抛物线的解析式，求出M、N的纵坐标，进而可得到关于MN的长与m的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值及对应的M点坐标；设BQ与直线MN的交点为H，根据M点的坐标和直线BQ的解析式即可求出H点的坐标，也就能得到MH的长，以MH为底，B、M横坐标差的绝对值为高，可求出△BHM的面积，进而可根据四边形OPBQ的面积求出五边形OPMHQ的面积，由此可求出它们的比例关系式．
（1）【解析】
∵CQ=t，OP=t，CO=8，
∴OQ=8-t．
∴S△OPQ=（0＜t＜8）；（3分）

（2）证明：∵S四边形OPBQ=S矩形ABCO-S△CBQ-S△PAB
==32；（5分）
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32；（6分）

（3）【解析】
当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB=90°，
又∵BQ与AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ，
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP（7分），
∴=，
∴，
解得：t1=4，t2=8
经检验：t=4是方程的解且符合题意，t=8不是方程的解，舍去；（从边长关系和速度考虑），
∴QO=4，
∴直线QB的解析式为：y=x+4，
此时P（，0）；
∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，
∴抛物线是，直线BP是：（8分）．
设M（m，）、N（m，）．
∵M在BP上运动，
∴
∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P；
∴当时，y1＜y2（9分）
∴MN=|y1-y2|
=|m2-2m+8-（m-8）|
=m-8-（m2-2m+8）
=m-8-m2+2m-8
=-m2+3m-16
=，
∴当时，MN有最大值是2；
∴设MN与BQ交于H点则，；
∴S△BHM==
∴S△BHM：S五边形QOPMH==3：29
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．（10分）