Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）请证明：E是OB的中点；
（3）若AB=8，求CD的长．

Answer

（1）已知点C在圆上，根据平行线的性质可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切线．
（2）方法比较多，应通过等边三角形的性质或三角形全等的思路来考虑；
（3）Rt△OCE中，有三角函数的定义，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=2可得CE的长．
（1）【解析】
CG是⊙O的切线．理由如下：
∵CG∥AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：
第一种方法：连接AC，如图，（2分）
∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE过圆心O，
∴，．
∴AC=AD=CD．
∴△ACD是等边三角形．（3分）
∴∠D=60°．
∴∠FCD=30°．（4分）
在Rt△COE中，
∴OE=OB．
∴点E为OB的中点．（5分）

第二种方法：连接BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD．
∴△BDE∽△OCE．（3分）
．
∵AE⊥CD，且AE过圆心O，
∴CE=DE．（4分）
∴BE=OE．
∴点E为OB的中点．（5分）

（3）【解析】
∵AB=8，
∴OC=AB=4．
又∵BE=OE，
∴OE=2．（6）
∴CE=OE×cot30°=．（7分）
∵AB⊥CD，
∴CD=2CE=．（8分）