Question

已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为______．

Answer

如图，过点A作AG∥DE，则△BEF∽△BGA，△AGC∽△DEC，由此得到EF：AG=BF：BA=BE：BG，AG：DE=CG：CE，又F是AB的中点，EF=3，BE=4，由此求出AG=6，BG=8，而DE⊥BC，∠C=45°，可以得到AG=CG=6，进一步得到EG=4，EC=10，从而可以求出DE，最后即可求出DF：FE．
【解析】
如图，过点A作AG∥DE
∴△BEF∽△BGA，△AGC∽△DEC．
∴EF：AG=BF：BA=BE：BG，AG：DE=CG：CE．
∵F是AB的中点，EF=3，BE=4，
∴AG=6，BG=8．
∵DE⊥BC，∠C=45°，
∴AG=CG=6．
∴EG=4，EC=10．
∴DE=10．
∴DF=7．
∴DF：FE=7：3．
故答案为：7：3．