Question

如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积记为S．点N是正方形ABCD内任一点，把N点到四个顶点A，B，C，D的距离均不小于1的概率记为P，则S=（ ）

A．（4-π）P
B．4（1-P）
C．4P
D．（π-1）P

Answer

根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为1，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积，求得概率P，用P表示所求的面积即可．
【解析】
正方形ABCD的面积为2×2=4，4个扇形的面积为4π×=π，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4-π．
∵N点到四个顶点A，B，C，D的距离均不小于1的概率记为P，
∴P=，
∴4-π=4P，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4P．
故选C．