Question

△ABC的外接⊙O的半径为R，高为AD，∠BAC的平分线交⊙O于E，EF切⊙O交AC的延长线于F．结论：①AC•AB=2R•AD；②EF∥BC；③CF•AC=EF•CM；④，其中正确（ ）

A．①②③④
B．①②③
C．②③
D．①②④

Answer

（1）过A作直径AN，利用直角△ACN∽直角△ADB，可得①；
（2）连接OE，由角平分线可得弧相等，即E为BC弧的中点，则OE与BC垂直，而EF是切线即EF⊥BC，得②；（3）连CE，证明△FCE∽△CMA，可得③；
（4）先把正弦化成线段的比，得到，而这是角平分线定理，所以得④．
【解析】
（1）过A作直径AN，连CN．则∠ACN=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ANC=∠B，
∴直角△ACN∽直角△ADB，而AN=2R，
∴AC•AB=2R•AD；
（2）连接OE，
∵∠BAC的平分线交⊙O于E，
∴=，
∴OE⊥BC，
又∵FE是⊙O的切线，
∴FE⊥OE，
∴EF∥BC；
（3）连CE，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠F，∠FEC=∠ECM，
又∵∠ECM=∠EAB=∠CAM，
∴△FCE∽△CMA，
∴CF•AC=EF•CM；
（4）在直角三角形ADB中，sinB=，
在直角三角形ADC中，sin∠ACD=，而EF∥BC，∠ACD=∠F，即sinF=，
∴=，
而AM为角平分线，所以=，
∴=；
因此A对，B，C，D都错．故选A．