Question

如图，边长为n的正△DEF的三个顶点恰好在边长为m的正△ABC的各边上，则△AEF的内切圆半径为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

由于△ABC、△EFD都是等边三角形，因此它们的内心重合，设△ABC的内心为M，△AEF的内心为N，连接FN、MF，可先证MN=MF，而后由AN=MA-MN=MA-MF求出MA的值，易知∠NAF=30°，根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径．
【解析】
设△AEF的内切圆半径为r，
∵△ABC、△DEF都是等边三角形，且△DEF的三个顶点都在△ABC的边上，
∴△AEF≌△BDE≌△CFD，
∴AF=BE，AE+AF+EF=AE+BE+EF=m+n，
S△ABC=m2，S△DEF=n2，
∴S△AEF=（S△ABC-S△DEF）=（m2-n2），
则r==（m-n）．
故选A．