Question

顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形，己知AB=2cm，则DE=    cm．

Answer

由顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，而△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形，可得到∠ABC=∠C=72°，∠DBC=36°，∠EDC=36°，∠DEC=72°，∠BDC=72°，则DA=DB=BC，DE=DC，易得△BDC∽△ABC，得BD：AC=DC：BC，则AD：AC=DC：AD，于是得到点D为AC的黄金分割点，所以AD=AB，DC=AB-AD=AB，
把AB=2代入计算得到DC，而DE=DC．
【解析】
∵顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，
而△ABC，△BCD，△DEC都是黄金三角形，
∴∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
同理有∠DBC=36°，∠EDC=36°，∠DEC=72°，∠BDC=72°，
∴DA=DB=BC，DE=DC，
∴△BDC∽△ABC，
∴BD：AC=DC：BC，
∴AD：AC=DC：AD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD=AB，
∴DC=AB-AD=AB，
而AB=2，
∴DC=×2=3-，
∴DE=（3-）cm．
故答案为（3-）．