Question

如图，Rt△AOB中，∠A=90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA=2，AB=8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．
（1）填空：直线OC的解析式为______；抛物线的解析式为______；
（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；
①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；
②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．

Answer

（1）本题须先求出点C的坐标然后即可求出直线OC的解析式和抛物线的解析式．
（2）①本题首先需根据抛物线的移动规律设出抛物线的解析式，再根据平行四边形的性质即可得出m的值．
②本题需先求出△BOE的面积S与m的关系，再根据m的取值范围即可求出S的取值范围．
【解析】
（1）∵OA=2，AB=8，点C为AB边的中点
∴点C的坐标为（2，4）点，
设直线的解析式为y=kx
则4=2k，解得k=2
∴直线的解析式为y=2x，
设抛物线的解析式为y=kx2
则4=4k，解得k=1
∴抛物线的解析式为y=x2

（2）设移动后抛物线的解析式为y=（x-m）2+2m
当OD=BC，四边形BDOC为平行四边形，
∴OD=BC=4，
①则可得x=0时y=4，
∴m2+2m=4，
∴（m+1）2=5
解得，（舍去），
所以
y=+2×（-1+）
=-2+2，
②∵BE=8-[（2-m）2+2m]
=4+2m-m2
∴S△BOE=BE•OA
=（4+2m-m2）×2
=-m2+2m+4
=-（m-1）2+5，
而0≤m≤2，
所以4≤S≤5．