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如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交A...

如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:
①∠BOC=90°+manfen5.com 满分网∠A;②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;③设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn; ④EF是△ABC的中位线.
其中正确的结论是   
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根据角平分线的定义得∠ABC=2∠1,∠ACB=2∠2,根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°,则2∠1+2∠2+∠A=180°,∠1+∠2=90°-∠A,而∠1+∠2+∠BOC=180°,则180°-∠BOC=90°-∠A,可得到∠BOC=90°∠A;由EF∥BC得到∠1=∠3,∠2=∠4,易得∠EBO=∠3,∠4=∠FCO,则EB=EO,FC=FO,即BE+FC=EF,根据两圆的位置关系的判定方法得到以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;连OA,过O作OG⊥AE于G,根据内心的性质得OA平分∠BAC,由角平分线定理得到OG=OD=m,然后利用三角形的面积公式易得S△AEF=S△OAE+S△OAF=AE•m+AF•m=(AE+AF)•m=mn;若EF是△ABC的中位线,则EB=AE,FC=AF,而EB=EO,FC=FO,则AE=EO,AF=FO,即有AE+AF=EO+FO=EF,这不符合三角形三边的关系. 【解析】 如图 ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ∴∠ABC=2∠1,∠ACB=2∠2, 而∠ABC+∠ACB+∠A=180°, ∴2∠1+2∠2+∠A=180°, ∴∠1+∠2=90°-∠A, 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°, ∴180°-∠BOC=90°-∠A, ∴∠BOC=90°∠A,所以①正确; ∵EF∥BC, ∴∠1=∠3,∠2=∠4, 而∠1=∠EBO,∠2=∠FCO, ∴∠EBO=∠3,∠4=∠FCO, ∴EB=EO,FC=FO, ∴BE+FC=EF, ∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切,所以②正确; 连OA,过O作OG⊥AE于G,如图, ∵点O为△ABC的内心, ∴OA平分∠BAC, ∴OG=OD=m, ∴S△AEF=S△OAE+S△OAF=AE•m+AF•m=(AE+AF)•m=mn,所以③不正确; ∵EB=EO,FC=FO, 若EF是△ABC的中位线,则EB=AE,FC=AF, ∴AE=EO,AF=FO, ∴AE+AF=EO+FO=EF,这不符合三角形三边的关系,所以④不正确. 故答案为①②.
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考点分析:
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