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如图,△ABC中,CD⊥AB于D,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是直角三角...

如图,△ABC中,CD⊥AB于D,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是直角三角形的是    .(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①∠ACD=∠B;②∠A:∠B:∠C=4:3:5;③AC•BC=AB•CD;④manfen5.com 满分网
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要想证明△ABC是直角三角形,只需证明∠ACB=∠CAD=∠CDB=90°即可. 【解析】 ①在△ACD中,∠CAD+∠ACD=90°. ∵∠ACD=∠B, ∴∠CAD+∠B=90°, ∴在△ACB中,∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形; 故本选项正确; ②∵∠A:∠B:∠C=4:3:5,∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和是180°), ∴∠A=60°,∠B=45°,∠C=75°, ∴△ABC不是直角三角形; 故本选项错误; ③∵S△ABC=AC.BCsinC=A B.CD=AC.BC, ∴sinC=1,故∠C=90°, 故③正确; ④在△CDB与△ADC中, =, ∠BDC=∠ADC=90°, ∴△CDB∽△ACD(SAS), ∴∠ACD=∠B, ∴∠CAD+∠B=90°, ∴在△ACB中,∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形; 故本选项正确; 综上所述,正确的是①③④. 故答案为:①③④.
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考点分析:
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