Question

如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使E A′恰好与⊙0相切于点A′（△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分），延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是    ．

Answer

连AC，过F作FH⊥DC于H，根据折叠的性质得∠EA′F=∠EAF=90°，FA′=FA，由E A′恰好与⊙0相切于点A′，根据切线的性质得OA′⊥EA′，则点F、A′、O共线，即FG过圆心O；再根据正方形的性质得到AC经过点O，且OA=OC，易证得△OAF≌△OCG，则OF=OG，AF=CG，易得FA′=GN，设FA=x，DC=8，ON=2，则FA′=DH=CG=GN=x，FG=FA′+A′N+NG=2x+4，HG=DC-DH-CG=8-2x，在Rt△FGH中，利用勾股定理得到FG2=FH2+HG2，即（2x+4）2=82+（8-2x）2，解出x=，则可计算出A′G=A′N+NG=4+=．
【解析】
连AC，过F作FH⊥DC于H，如图．
∵△AEF沿EF折叠得到△A′EF，
∴∠EA′F=∠EAF=90°，FA′=FA，
∵E A′恰好与⊙0相切于点A′，
∴OA′⊥EA′，
∴点F、A′、O共线，即FG过圆心O，
又∵点O为正方形的中心，
∴AC经过点O，
∴OA=OC，
易证得△OAF≌△OCG，
∴OF=OG，AF=CG，
∵OA′=ON，
∴FA′=GN，
设FA=x，DC=8，ON=2，则FA′=DH=CG=GN=x，FG=FA′+A′N+NG=2x+4，HG=DC-DH-CG=8-2x，
在Rt△FGH中，FG2=FH2+HG2，
∴（2x+4）2=82+（8-2x）2，解得x=，
∴A′G=A′N+NG=4+=．
故答案为．