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如图所示,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI...

如图所示,圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连接BD、DC.
(1)求证:BD=DC=DI;
(2)若圆O的半径为10cm,∠BAC=120°,求△BDC的面积.

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(1)根据题意可得∠BAD=∠DAC,进而可得BD=DC.同理可得∠BAD=∠DBC,易证△BDI为等腰三角形.结合BD=ID,容易得到证明. (2)根据圆内接四边形的性质与圆周角定理,可得∠DBC=∠DCB=60°,△BDC为正三角形.又OB=10cm,可得△BDC的面积. (1)证明:∵AI平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC, ∴=, ∴BD=DC.                                        ∵BI平分∠ABC, ∴∠ABI=∠CBI. ∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC, ∴∠BAD=∠DBC. 又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI,∠DIB=∠ABI+∠BAD, ∴∠DBI=∠DIB, ∴△BDI为等腰三角形, ∴BD=ID, ∴BD=DC=DI.                                     (2)【解析】 当∠BAC=120°时,△ABC为钝角三角形, ∴圆心O在△ABC外. 连接OB、OD、OC. ∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°, ∴∠DBC=∠DCB=60°, ∴△BDC为正三角形.                              ∴OB是∠DBC的平分线, 延长CO交BD于点E,则OE⊥BD, ∴BE=BD, 又∵OB=10, ∴BD=2OBcos30°=2×10×=10. ∴CE=BD•sin60°=10×=15, ∴S△BDC=BD•CE=×10×15=75. 答:△BDC的面积为75cm2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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