Question

已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根；
（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．

Answer

（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据△的意义得到△≥0，即（m+1）2-4（m2+1）≥0，解得m≥，而a、b都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有a+b=m+1＞0，ab=m2+1＞0，可解得m＞-1，综合可得到m的取值范围；
（2）根据矩形的性质和勾股定理得到a2+b2=（）2，变形有（a+b）2-2ab=5，把a+b=m+1，ab=m2+1代入得（m+1）2-2（m2+1）=5，整理得到m2+4m-12=0，解方程得到m1=2，m2=-6，然后即可得到符合条件的m的值．
【解析】
（1）设矩形两邻边的长为a，b，
∵关于x的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长，
∴△≥0，即（m+1）2-4（m2+1）≥0，解得m≥，
a+b=m+1＞0，ab=m2+1＞0，解得m＞-1，
∴m≥时，方程有两个正实数根；
（2）∵矩形的对角线长为，
∴a2+b2=（）2，
∴（a+b）2-2ab=5，
∴（m+1）2-2（m2+1）=5，
即m2+4m-12=0，
解得m1=2，m2=-6，
∵m≥，
∴m=2，
所以当矩形的对角线长为时，m的值为2．