Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为______，数量关系为______．
②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC=2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

Answer

（1）可通过证明三角形ABC和三角形ACF全等来实现．因为AD=AF，AB=AC，只要证明∠BAD=∠CAF即可，∠BAD=90°-∠DAC=∠FAC，这样就构成了全等三角形判定中的SAS，△ABD≌△ACF，因此BC=CF，∠B=∠ACF，因为∠B+∠ACB=90°，那么∠ACF+ACD=90°，即FC⊥BC，也就是FC⊥BD．
（2）可通过构建三角形来求解．过点A作AG⊥AC交BC于点G，如果CF⊥BD，那么∠ACF=∠AGD=90°-∠ACD，又因为∠GAD=∠CAE=90°-∠CAD．AG=AC那么根据AAS可得出△AGD≌△ACF，AG=AC，又因为∠GAC=90°，可得出∠BCA=45°．
因此△BAC满足∠BCA=45°时，CF⊥BD．
（3）过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，通过构建与线段相关的三角形相似来求解．
图中我们可以看出∠ADQ+∠PDC=90°，那么很容易就能得出，∠QAD=∠PDC，那么就能得出直角三角形ADQ∽直角三角形PDC，那么可得出关于CP、CD、AQ、QD的比例关系，因为∠BCA=45°，∠Q=90°，那么AQ=QC=2，如果设CD=x，那么可用x表示出CD、QD，又知道AQ的值和CP、CD、QD、AQ的比例关系，那么可得出关于CP和x的函数关系式，然后根据函数的性质和x的取值范围求出CP的最大值．
【解析】
（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD
∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．

（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图）
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

（3）当具备∠BCA=45°时，
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图），
∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=2，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
设CD=x，∴DQ=2-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴=，∴．
∴CP=x2+x=（x-1）2+．
∵0＜x≤，
∴当x=1时，CP有最大值．