Question

已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°；点D是上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连接AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若AB=8cm，AE=6cm，求△DAF的面积．

Answer

（1）连接OD，根据切线的性质可以得到OD⊥DE，利用垂径定理以及圆周角定理可以证得：∠BAD=∠EAD，然后利用平行线的性质，即可证得∠BDA=∠DEA，利用两个角对应相等的两个三角形相似即可证得；
（2）易证：△ADF为等腰直角三角形，利用三角形的面积公式求解．
（1）证明：连接OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
又∵DE∥BC，
∴OD⊥BC．
∴=
∴∠BAD=∠EAD
∵∠BDA=∠BCA，DE∥BC，
∴∠BDA=∠DEA
∴△ABD∽△ADE；

（2）【解析】
由（1）得=，即AD2=AB•AE=8×6=48
由∠ABC=45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形．
则S△ADF=AD2=×48=24cm2．