Question

如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，则∠ACB和∠AEB之和为（ ）

A．45°
B．90°
C．60°
D．75°

Answer

先设AD=x，由于AC=BC，CD是AB边上的高线，可知BD=x，且CD是AB的垂直平分线，利用2CD=3AB，易求CD=3x，再利用垂直平分线的定理易求∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，而E、F是三等分点，那么CE=EF=DF=x，易证△DBF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求BF=x，可求=，而夹角相等易证△EFB∽△BFC，那么有∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，结合三角形外角的性质易证∠ACB+∠AEB=90°．
【解析】
如右图所示，先设AD=x，
∵AC=BC，CD是AB边上的高线，
∴BD=AD=x，CD是AB的垂直平分线，
又∵2CD=3AB，AE=BE，AF=BF，
∴CD=3x，∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，
又∵E、F是三等分点，
∴CE=EF=DF=x，
∴DF=DB，
又∵∠CDB=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴∠DFB=45°，BF=x，
∴=，==，
∴=，
又∵∠EFB=∠BFC，
∴△EFB∽△BFC，
∴∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，
又∵∠DFB=∠FBE+∠FEB=∠FCB+∠FBC，
∴45°=∠FBE+∠FEB，
∴90°=2∠FBE+2∠FEB=2∠BCF+2∠FBC，
∴∠ACB+∠AEB=90°．
故选B．