Question

填表解题：

方程	两根x1，x2	x1+x2=	x1x2=
x^2+2x+1=0
x^2-3x-4=0
x^2+4x-7=0

上表你能猜想若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0（a不等0）的两根则x₁+x₂=______，x₁x₂₌______
利用你的猜想解下列问题：
（1）若x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两根求，x₁²+x₂²和（x₁+2）（x₂+2）的值．
（2）已知2+是方程x²-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值．

Answer

利用因式分解法和求根公式解方程x2+2x+1=0，x2-3x-4=0，x2+4x-7=0，然后填表，根据表中的数据猜想若x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a不等0）的两根则x1+x2=-，x1x2= ；
（1）根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=-3，然后变形x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2，（x1+2）（x2+2）=x1•x2+2（x1+x2）+4，再把x1+x2=2，x1•x2=-3整体代入计算即可；
（2）设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系得到2++x2=4，（2+）•x2=c，先求出x2，然后计算c的值．
【解析】
表中从左至右为：x1=-1，x2=-1，x1+x2=-2，x1•x2=1；
x1=4，x2=-1，x1+x2=-3，x1•x2=4；
x1=-2+，x2=-2-，x1+x2=-4，x1•x2=-7；
故答案为-，；
（1）∵x1+x2=2，x1•x2=-3，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=22-2×（-3）=4+6=10；
（x1+2）（x2+2）=x1•x2+2（x1+x2）+4=-3+4+4=5；
（3）设方程的另一个根为x2，
∵2++x2=4，
∴x2=2-；
由∵（2+）•x2=c，
∴c=（2+）（2-）=4-3=1，
所以方程的另一个根为2-，c的值为1．