Question

已知关于x的方程．
（1）若方程的两实数根互为相反数，求出k的值；
（2）等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根，求k的值．

Answer

（1）设x1，x2是关于x的方程的两根，根据已知条件和根与系数的关系列出方程，然后解方程即可求出k．
（2）先利用因式分解法求出两根：x1=2，x2=2k-1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．
【解析】
（1）设x1，x2是关于x的方程．
若方程的两实数根互为相反数，
根据已知条件和根与系数的关系列出方程得，
2k+1=0，
解得k=-．

（2）∵．
∴x2-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x1=2，x2=2k-1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，
解得k=，则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10．