Question

如图，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB=4OC．若抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为P，求四边形OAPB的面积；
（3）有两动点M，N同时从点O出发，其中点M以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点N以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．
①请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②判断在①的过程中，t为何值时，△OMN的面积最大？

Answer

（1）根据已知条件可求OA、OC的长度，从而得A、B、C三点坐标．代入抛物线解析式中得方程组求解；
（2）根据解析式求顶点P的坐标．作PD⊥x轴于D点，则四边形OAPB的面积=梯形ODPB的面积+△APD的面积；
（3）分段表示：①0＜t≤2； ②2＜t＜3； ③3≤t＜4．
根据函数关系式求面积最大值．
【解析】
（1）∵tan∠OBA==，
∴OA=OB•tan∠OBA=8×=6，则A的坐标是（6，0）．
∵OB=4OC，
∴OC=OB=2，则C的坐标是（-2，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，
则
解得：，
则抛物线的解析式是：y=x2-x-8；

（2）抛物线的顶点的横坐标 x=-=2，
纵坐标是：y=×22-×2-8=-．                                            
则P的坐标是：（2，-）．                                                                             
S四边形OAPB=S梯形ODPB+S△APD
=（8+）×+×（6-2）×
=40；

（3）当 0＜t≤2 时，S△OMN=×4t×2t=4t2；
当t=2时，S最大，最大值为16；
当 2＜t＜3 时，BN=4t-8，AN=10-（4t-8）=18-4t．
作NQ⊥x轴于Q点，则=，
∴NQ=．
∴S△OMN=×2t×=-t2+t；
当t=时S最大，最大值为 ；
当 3≤t＜4 时，MN=△OAB的周长-4t-2t=24-6t．
作OQ⊥AB于Q点．
∵S△OAB=OA×OB=AB×OQ，
∴OQ==．
∴S△OMN=××（24-6t）=-t+；
当t=3时S最大，最大值为．
综上所述，在整个运动过程中，当t=时S△OMN最大，最大值为 ．